Question

4．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=2，G和H分别是AE和AF的中点．
（1）求证：平面BDGH∥平面CEF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取EF的中点M，连接AM，CM，连接GH，设AM交GH于N，则N为AM的中点，连接AC，BD交于O，由已知可得O为AC的中点，由三角形中位线定理可得ON∥MC，进一步得到ON∥平面EFC，同理得到GH∥平面EFC，由面面平行的判定可得平面BDGH∥平面CEF；
（2）由（1）知，AC⊥BD，结合面面垂直的性质可得AC⊥平面BDEF．则由棱锥体积公式求得多面体ABCDEF的体积．

解答 （1）证明：取EF的中点M，连接AM，CM，
连接GH，设AM交GH于N，则N为AM的中点，
连接AC，BD交于O，∵底面为菱形，则O为AC的中点，
连接ON，则ON∥MC，
∵MC?平面EFC，ON?平面EFC，∴ON∥平面EFC，
∵G和H分别是AE和AF的中点，∴GH∥EF，
∵EF?平面EFC，∴GH∥平面EFC，
又ON∩GH=N，∴平面BDGH∥平面CEF；
（2）解：由（1）知，AC⊥BD，又平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD=BD，
∴AC⊥平面BDEF．
∵四边形BDEF是矩形，BF=2，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴${V}_{ABCDEF}=\frac{1}{3}×{S}_{BDEF}×AC=\frac{1}{3}×2×2×2\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，是中档题．