Question

凸四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于E，求证：E关于AB，BC，CD，DA的对称点共圆.

Answer 1

证明：设点E关于边AB、BC、CD、DA的对称点分别为P、Q、R、S（如图），因AP=AE=AS，故A是△PES的外心，于是∠PSE=∠PAE=∠BAE.同理有∠ESR=∠EDC,∠PQE=∠ABE,∠EQR=∠ECD.这样，∠PSR+∠PQR=∠BAE+∠EBA+∠EDC+∠DCE=180°,故P、Q、R、S四点共圆.