Question

设有半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？

Answer 1

解析：注意到村落为圆形，且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为原点，以开始时A、B的前进方向为x,y轴，建立直角坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件.

(1)设元.由题意可设A、B两人的速度分别为3vkm/h、vkm/h，再设A出发后x₀h，在点P处改变方向，又经y₀h，在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为(3vx₀,0)，(0，v(x₀+y₀)),如图所示.

(2)找关系，由于A从P到Q行走的时间是y₀h，于是由勾股定理，|OP|²+|OQ|²=|PQ|²有

(3vx₀)²+［v(x₀+y₀)］²=(3vy₀)²

化简、整理，得(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0

又x₀+y₀＞0

∴5x₀=4y₀                                       ①

于是k_PQ=              ②

①代入②，得k_PQ=

(3)转化为数学问题.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x₀+y₀)的值就是问题答案.于是转化为“当直线y=x+b与圆x²+y²=9相切时，求纵截距b的值”.

利用圆心到切线的距离等于半径，得

 (b＞0)

因此，A和B相遇的地点是在离村落中心正北 km处.

评注：合理建立直角坐标系是解决这类问题的关键.