Question

设有半径为3 km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A出村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇,设A、B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A、B两人在何处相遇？

Answer 1

活动：学生阅读题目,理解题意,这是一个应用题,应首先建立适当的坐标系,结合几何知识解题.由于是圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,于是可以以村落中心为原点,以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴,建立坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件,然后再准确设元,列出方程.

解:以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴,建立坐标系,由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h,v km/h,再设A出发x₀ h后在点P处改变前进方向,又经y₀ h在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标为(3vx₀,0),(0,v(x₀+y₀)),如图3所示.

图3

由于A从点P到Q行走的时间是y₀ h,于是由勾股定理有|OP|²+|OQ|²=|PQ|²,有(3vx₀)²+［v(x₀+y₀)］²=(3vy₀)².化简整理得(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0.

又x₀+y₀＞0,所以5x₀=4y₀.①

于是k_PQ==.②

把①代入②得k_PQ=.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x₀+y₀)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y=x+b与圆相切时,求纵截距b的值”.利用圆心到切线的距离等于圆的半径,得=3,解得b=(b＞0).因此A、B两人相遇的位置是离村落中心正北3 km处.