Question

若｛a_n｝既为等差数列，又为等比数列，求证：a_n＝a₁，n∈N^*.

Answer 1

证明:由已知得a₁＋d＝a₁q，①

a₁＋2d＝a₁q².②

由①得a₁(1－q)＝－d.③

由②得a₁(1－q²)＝－2d.④

∴a₁(1－q²)＝2a₁(1－q).⑤

∵｛a_n｝为等比数列，则a₁≠0，q≠0.

则由⑤，得1+q＝2即q＝1.

∴a_n＝a₁q^n－1＝a₁.

点评:只有非零的常数列才既是等差数列，又是等比数列.