Question

已知f(x)＝log_a(a－a^x)(a＞1)，

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)判断f(x)的单调性，并证明；

(3)解不等式f^－1(x²－2)＞f(x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a．又a＞1， 　　∴x＜1，故定义域为(－∞，1)． 　　又loga(a－ax)＜logaa＝1，∴f(x)＜1，即函数值域为(－∞，1)． 　　(2)设x1＜x2＜1，则Δx＝x2－x1＞0，则 　　Δy＝f(x2)－f(x1)＝loga(a－ )－loga(a－ )＝loga＜loga1＝0， 　　∴f(x)为减函数． 　　(3)设y＝loga(a－ax)，则ay＝a－ax． 　　∴ax＝a－ay，x＝loga(a－ay)． 　　∴f(x)的反函数为f－1(x)＝loga(a－ax)． 　　由f－1(x2－2)＞f(x)，得loga(a－a－2)＞loga(a－ax)． 　　∴a－2． 　　∴x2－2＜x，即x2－x－2＜0．解得－1＜x＜2． 　　又f(x)的定义域为(－∞，1)，∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．