Question

（2009•闵行区二模）（理）无穷数列{

1

2n

sin

nπ

2

}的各项和为

2

5

．

Answer 1

分析：首先观察数列：bn=sin

nπ

2

的规律，得到它是一个以4为周期的数列，而数列{

1

2n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，从而得出{

1

2n

sin

nπ

2

}的化简后的表达式，最后用无穷递缩数列求和的公式，求出这个各项和．

解答：解：∵a_n=

1

2n

sin

nπ

2

∴a1=

1

2

，a2=0，a3=-

1

2 3

，a4=0，…
依此规律，数列{

1

2n

sin

nπ

2

}的偶数项均为0，
而奇数项为a2k-1=(-1) k-1

1

2 k

，成等比数列，公比为-

1

4

所以无穷数列{

1

2n

sin

nπ

2

}的各项和为：

1

2

+(-

1

2 3

) +

1

2 5

+(-

1

2 7

)+…=

1 2

1-(- 1 4 )

=

2

5

故答案为：

2

5

点评：本题以含有三角函数的数列为例，考查了数列求和与数列极限等知识点，属于中档题．