Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，设

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AA1

=

c

，则向量

MN

=

1

3

a

+

1

3

b

+

1

3

c

（用

a

，

b

，

c

表示）

Answer 1

分析：作出如图的图象，把三个向量

AB

，

AA1

，

AC

看作是基向量，由向量的线性运算将

MN

用三个基向量表示出来，再用

a

，

b

，

c

表示即可得到答案

解答：解：由题意三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，由图，

MN

=

MA1

+

A1C1

+

C1N

=

1

3

BA1

+

AC

+

2

3

C1B1

=-

1

3

AB

+

1

3

AA1

+

AC

+

2

3

(

AB

-

AC

)=

1

3

AB

+

1

3

AA1

+

1

3

AC

又

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AA1

=

c

，
∴

MN

=

1

3

a

+

1

3

b

+

1

3

c

故答案为：

1

3

a

+

1

3

b

+

1

3

c

．

点评：本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考察数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型．