Question

（2005•海淀区二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且2sin²

A+B

2

+cos2C=1
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a²+b²=5，c=

3

，试求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等变换和诱导公式化简已知等式，得2cos²C+cosC-1=0，从而解出cosC=

1

2

，可得C=

π

3

；
（II）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入数据化简得a²+b²-ab=3，结合a²+b²=5算出ab=2，从而两式联解可得边a、b的值．

解答：解：（I）∵2sin2

A+B

2

+cos2C=1
∴化简得1-cos（A+B）+2cos²C-1=1，…（2分）
又∵A+B+C=π，得cos（A+B）=-cosC
∴将上式整理，得2cos²C+cosC-1=0，即（2cosC-1）（cosC+1）=0…（4分）
解之得cosC=

1

2

（舍去-1），结合0＜C＜π，得C=

π

3

…（7分）
（II）根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得
a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=3
∵a²+b²=5，∴代入上式可得ab=2
两式联解，可得a=1，b=2或a=2，b=1．

点评：本题给出三角形的角满足的关系式，求角C的大小并依此求边a、b．着重考查了三角恒等变换、诱导公式和余弦定理等知识，属于中档题．