Question

已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（）=（2x-）lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）设g（x）=，h（x）=（2x²+x）g′（x），求证：?x∈（0，+∞），h（x）＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）令，构建关于f（x）与的方程组，可求得结果．利用导数有关知识即能求得函数的最小值；
（2）利用导数研究函数h（x）在（0，+∞）上的最大值，就能证得结果．
解答：（1）解：令，代入2f（x）+f（）=（2x-）lnx    ①
得，
联立①②解得：f（x）=xlnx

当x∈时，f^′（x）0，函数递增．
∴当x=时，函数取到极小值，也是函数的最小值
故最小值为
（2）证明：由（1）得
∴
∴h（x）=（2x²+x）g^′（x）==
令p（x）=1-2x-2xlnx
=-4-2lnx
当x∈时，p^′（x）＞0，函数递增；当x∈时，p^′（x）＜0，函数递减．
故时，函数取到极大值，也是函数的最大值．
即，且
同理可求得
故
点评：本题主要考查了函数解析式的求法、利用导数研究函数的最值；解题中要熟悉复杂函数的求导；对运算的要求比较高．