Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件知，由此能求出椭圆方程． 
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则．若过点P（0，m）的直线斜率为k，即：时，直线AB的方程为y-m=kx．由，△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）．因为AB和椭圆C交于不同两点，所以△＞0．由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：
由题意：
所求椭圆方程为：．…（5分）
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则．
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即：时，
直线AB的方程为y-m=kx
由，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k²-m²+3＞0，
所以4k²＞m²-3    ①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，
则    ②
-x₁=3x₂ ③
将③代入②得：
整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0
所以代入①式，
得，
解得．
所以或．
综上可得，实数m的取值范围为：．…（14分）
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．