Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式．
（2）若c=2时，各项不为零的数列{a_n}满足4S_n•f（）=1，求证：＜＜．
（3）设b_n=-，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

【答案】分析：（1）设=x的不动点为0和2，由此知即即且c≠0．
（2）由c=2，知b=2，，2S_n=a_n-a_n²，且a_n≠1．所以a_n-a_n-1=-1，a_n=-n，要证待证不等式，只要证，即证，只要证，即证．考虑证不等式（x＞0），由此入手能导出＜＜．
（3）由b_n=，知T_n=．在中，令n=1，2，3，…，2008，并将各式相加，能得到T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．
解答：解：（1）设=x的不动点为0和2
∴即即且c≠0
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=，
由已知可得2S_n=a_n-a_n²①，且a_n≠1．
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²②，
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n=-a_n-1=-1，
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，
若a_n=-a_n-1，则a₂=1与a_n≠1矛盾．∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n
∴要证待证不等式，只要证，
即证，
只要证，即证．
考虑证不等式（x＞0）**．
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）-（x＞0）．
∴g'（x）=，h'（x）=，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，．
令x=则**式成立，∴＜＜，
（3）由（Ⅱ）知b_n=，则T_n=1+
在中，令n=1，2，3，，2008，并将各式相加，
得＜1+．
即T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．
点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．