方程2x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉+x₁₀=3的非负整数解共有多少个？

解：以特殊的元素x₁进行分类：

（1）当x₁=1时，x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉+x₁₀=1,得其中的一个加数为1，则其余8个加数均为0，所以此时的非负整数解共有9组.

（2）当x₁=0时，x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉+x₁₀=3,

作变换y_i=x_i+1,i=2,3,…,10,则y₂+y₃+y₄+y₅+y₆+y₇+y₈+y₉+y₁₀=12.

于是问题转化为求方程y₂+y₃+y₄+y₅+y₆+y₇+y₈+y₉+y₁₀=12的正整数解的个数.

由于y₂,y₃,y₄,y₅,y₆,y₇,y₈,y₉,y₁₀都是正整数，并且它们的和为12，所以可以构造如下模型：设想将12个小球排成一排，它们中间有11个相间空（不含两端），用八个分离器“0”插空，分12个小球成9组，每组分得的小球的个数依次记为y₂,y₃,y₄,y₅,y₆,y₇,y₈,y₉,y₁₀，每个分法唯一对应着一个正整数解.所以共有插空方法C=C=165种.

故方程y₂+y₃+y₄+y₅+y₆+y₇+y₈+y₉+y₁₀=12的正整数解的个数共有C=C=165个.

即当x₁=0时，方程2x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉+x₁₀=3的非负整数解共有165个.

综合（1）（2）知方程2x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉+x₁₀=3的非负整数解共有165+9=174个.

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