Question

在棱长为2的正方体内能自由转动的最大正四面体的体积为（　　）

• A．

  8

  9

  3

• B．

  8 3

  27

• C．

  7

  12

  2

• D．

  5

  12

  2

Answer 1

分析：在一个棱长为2的正方体纸盒内放一个正四面方体，并且能使正四体在纸盒内任意转动，说明正四面体在正方体的内切球内，求出内切球的直径，就是正四面体的棱长．由此能求出这个正四面体的体积．

解答：解：棱长为2的正方体内切球的半径r=1，
由题设知最大正四面体是棱长为2的正方体内切球的内接正四面体，
设这个内接正四面体的棱长为a，
则

6 a

4

=r=1，
∴a=

2 6

3

．
∴这个正四面体的高h=

6

3

×

2 6

3

=

4

3

，
∴这个正四面体的体积：
V=

1

3

×

1

2

×

2 6

3

×

2 6

3

×sin60°×

4

3

=

8 3

27

．
故选B．

点评：本题考查正方体的内切球和球的内接正四面体的应用，综合性强，是高考的重点．解题是要认真审题，仔细解答．