Question

已知数列满足, ，．

       （1）求证：是等比数列；

       （2）求证：是等比数列并求数列的通项公式；

       （3）设，且对于恒成立，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）由a_n＋1＝a_n＋6a_n－1，a_n＋1＋2a_n＝3（a_n＋2a_n－1） （n≥2），∵a₁＝5，a₂＝5，∴a₂＋2a₁＝15

故数列{a_n＋1＋2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列    …………5分

（2）由（1）得a_n＋1＋2a_n＝5·3ⁿ  ，∴ （a_n＋1－3^n＋1）＝－2（a_n－3ⁿ），

故数列是以2为首项，-2为公比的等比数列，∴ a_n－3ⁿ＝2（－2）^n－1 ，

即a_n＝3ⁿ＋2（－2）^n－1＝3ⁿ－（－2）ⁿ              ………9分

（3）由3ⁿb_n＝n（3ⁿ－a_n）＝n[3ⁿ－3ⁿ＋（－2）ⁿ]＝n（－2）ⁿ，∴b_n＝n（－）ⁿ

 令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2（）²＋3（）³＋…＋n（）ⁿ

 　　 S_n＝（）²＋2（）³＋…＋（n－1）（）ⁿ＋n（）^n＋1         …………11分

得S_n＝＋（）²＋（）³＋…＋（）ⁿ－n（）ⁿ⁺¹＝－n（）ⁿ⁺¹＝2[1－（）ⁿ]－n（）ⁿ⁺¹

∴ S_n＝6[1－（）ⁿ]－3n（）ⁿ⁺¹＜6，要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m对于n∈N^＊恒成立，

只须m≥6    …14分