Question

如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a,点M在边BC上,△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)求证:点M为边BC的中点;

(2)求点C到平面AMC₁的距离.

Answer 1

(1)证明:∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,

    ∴AM⊥C₁M且AM=C₁M.

    ∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,

    ∴CC₁⊥底面ABC.

    ∴C₁M在底面内的射影为CM,AM⊥CM.

    ∵底面ABC为边长为a的正三角形,

    ∴点M为BC边的中点.

(2)解:过点C作CH⊥MC₁,

    由(1)知AM⊥C₁M且AM⊥CM,

    ∴AM⊥平面C₁CM.

    ∵CH⊥AM,

    ∴CH⊥平面C₁AM.

    由(1)知AM=C₁M=a,CM=a且CC₁⊥BC.

    ∴CC₁==a.

    ∴CH===a.

    ∴点C到平面AMC₁的距离为a.