Question

在数列{a_n}中，a₁=b(b≠0)，前n项和S_n构成公比为q的等比数列．

(Ⅰ)求证：数列{a_n}不是等比数列；

(Ⅱ)设b_n＝a₁S₁＋a₂S₂＋…＋a_nS_n，|q|＜1，求．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：(Ⅰ)由已知S₁＝a₁＝b　∵{S_n}成等比数列，且公比为q

　　∴S_n＝bq^n－1，∴S_n－1＝b·q^n－2(n≥2)

　　当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝bq^n－1－bq^n－2＝b·(q－1)·q^n－2………2分

　　故当q≠1时，＝＝q

　　而＝＝q－1≠q，∴{a_n}不是等比数列．………………4分

　　当q＝1，n≥2时，a_n＝0，所以{a_n}也不是等比数列

　　综上所述，{a_n}不是等比数列．…………………………6分

　　解：(Ⅱ)∵|q|＜1，由(1)知n≥2，a₂，a₃，a₄，…，a_n构成公比为q的等比数列

　　∴a₂S₂，a₃S₃，…，a_nS_n是公比为q²的等比数列．……………8分

　　∴b_n＝b²＋a₂S₂·(1＋q²＋q⁴＋…＋q^2n－4)

　　∵S₂＝bq，a₂＝S₂－S₁＝bq－b

　　∴a₂S₂＝b²q(q－1)

　　∴b_n＝b²＋b²q(q－1)·……………………………10分

　　∵|q|＜1∴q^2n－2＝0

　　∴b_n＝b²＋b²q(q－1)·＝…………………12分