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    证明对任意的正整数n,都有13+23+33+…+n3=.

    证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立.

    (2)假设当n=k时命题成立，即有

    13+23+33+…+k3=k2(k+1)2.

    当n=k+1时，13+23+33+…+k3+(k+1)3

    =k2(k+1)2+(k+1)3= (k+1)2(k2+4k+4)

    = (k+1)2(k+2)2= (k+1)2［(k+1)+1］2.

    ∴当n=k+1时等式成立.

    由(1)(2)可知，等式对任意正整数都成立.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
    （Ⅰ）当b＞
    1
    2
    时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
    （Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
    （Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(
    1
    n
    +1)＞
    1
    n2
    -
    1
    n3
    都成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•武昌区模拟）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．
    （Ⅰ）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
    （Ⅱ）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
    （Ⅲ）若b=-1，证明对任意的正整数n，不等式
    n
    k=i
    f(
    1
    k
    )＜1+
    1
    23
    +
    1
    33
    +…+
    1
    n3
    成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．
    （1）求a，b的值；
    （2）当x∈[-
    1
    2
    ，1]    时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
    （3）证明对任意的正整数n，不等式ln(
    1
    n
    +1)＞
    1
    n2
    -
    1
    n3
    都成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．
    （1）求a的值及函数f（x）的单调区间；
    （2）证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江西省高三第三次段考数学理卷 题型：解答题

    （本小题满分14分）设函数f(x) = x2 + bln(x+1),

    （1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；

    （2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

    （3）若b = -1,，证明对任意的正整数n，不等式都成立

     

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