Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，E，F，N分别为A₁B₁，B₁C₁，C₁D，D₁A₁的中点，求证：
（1）E，F，B，D，四点共面；
（2）面MAN∥面EFDB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由E，E分别是B₁C₁，C₁D的中点，知EF∥B₁D₁，从而得到EF∥BD，由此能证明E，F，B，D，四点共面．
（2）由题设条件推导出MN∥EF，AN∥CF，由此能够证明面MAN∥面EFDB．
解答：证明：（1）∵E，E分别是B₁C₁，C₁D的中点，
∴EF∥B₁D₁，
∵B₁D₁∥BD，∴EF∥BD，
∴E，F，B，D，四点共面．
（2）∵M，N分别是A₁B₁，D₁A₁的中点，
∴MN∥B₁D₁，
∵EF∥B₁D₁，∴MN∥EF，
∵F，N分别是D₁C₁、A₁B₁的中点，
∴NFA₁D₁，
∵，∴NFAC，
∴四边形NFCA是平行四边形，
∴AN∥CF，
∵MN∩AN=N，EF∩DF=F，
∴面MAN∥面EFDB．
点评：本题考查四点共面的证明，考查两个平面平行的证明．解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用．