Question

如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F.设EF交AD于G，连结DF.

（1）求证：EF∥BC；

（2）已知DF=2，AG=3，求的值.

Answer 1

思路解析：由弦切角、圆周角、角平分线，易寻找能使EF∥BC的一对角，再证△ADF∽△FDG，利用相似的性质求比值.

（1）证明：∵⊙O切BC于D，

∴∠CDF=∠DAB.

又∵∠DAB=∠DEF，

∴∠CDF=∠DEF.

∴EF∥BC.

（2）解：∵∠DAB=∠DAC，∠DAB=∠DEF，∴∠DAC=∠DEF.

又∵∠ADF=∠ADF，

∴△ADF∽△FDG.

∴.

设GD=x，则.解得x₁=1,x₂=-4.

经检验x₁=1，x₂=-4为所列方程的根.

但x₂=-4<0应舍去，∴GD=1.

由（1）已证EF∥BC，∴=3.