Question

20．已知△ABC周长为12，A（-2，0），B（2，0），
（1）求顶点C的轨迹方程；
（2）设点M（m，0）在线段AB上，顶点C的轨迹和（-4，0），（4，0）形成曲线L，点P是L上任意一点．当|$\overrightarrow{MP}$|最小时，点P恰好在（4，0），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）推导出顶点C的轨迹是以A（-2，0），B（2，0）为焦点，以2a=8为长轴的椭圆，（不含x轴上的顶点），由此能求出顶点C的轨迹方程．
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，故-4≤x≤4．推导出|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．当|$\overrightarrow{MP}$|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵△ABC周长为12，A（-2，0），B（2，0），
∴|AB|=4，|AC|+|BC|=12-4=8，
∴顶点C的轨迹是以A（-2，0），B（2，0）为焦点，以2a=8为长轴的椭圆，（不含x轴上的顶点），
∴顶点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．（y≠0）….4分
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，故-4≤x≤4．
∵$\overrightarrow{MP}$=（x-m，y），∴|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12×（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）
=$\frac{1}{4}$x²-2mx+m²+12=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．
∵当|$\overrightarrow{MP}$|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4时，|$\overrightarrow{MP}$|²取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1…..11分
又点M在线段AB上，即-2≤m≤2．
故实数m的取值范围是m∈[1，2]．

点评 本题考查动点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．