Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（I）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意k∈[-1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b，c．然后求出函数f（x），求出导函数y=f′（x），可得函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）．
（Ⅱ）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围．
（Ⅲ）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．
解答：解：（I）二次函数h（x）=ax²+bx+c的导数为y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，
导函数y=h′（x）过点（4，0）和（0，-8），
代入h′（x）=2ax+b得b=-8，a=1，即h（x）=x²-8x+c，h′（x）=2x-8，
f（x）=6lnx+h（x）=6lnx+x²-8x+c，，所以函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）=2+2×3-8=0，
所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0．
（Ⅱ）因为f（x）=6lnx+x²-8x+c的定义域为（0，+∞），则==在（m，m+）上导数符号不变化．
因为，，
当x变化时
 

	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）．
单调递减区间为（1，3）．
若函数在（m，m+）上是单调递减函数，则有，解得1．
若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥3，解得0或m≥3．
综上若函数在（m，m+）上是单调函数，则0或m≥3或1．
（Ⅲ）对任意k∈[-1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，
则只需要-x＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，即可．
即-x＞6lnx+x²-8x+c恒成立，所以c＜-x²-6lnx+7x．
设g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，则，
当此时函数单调递增，
当，此时函数单调递减．
所以g（x）的最小值为g（）或g（6）的较小者．
，g（6）=-36-6ln6+7×6=6-6ln6，
，所以g（x）的最小值为g（6）=6-6ln6，
所以c＜6-6ln6，又c＜3，所以c＜6-6ln6．
即c的取值范围是（-∞，6-6ln6）．
点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．综合性较强，难度较强．