Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；   

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

Answer 1

解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；

x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.

所以等价于

≥4x₁－4x₂,

即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁.

令g(x)=f(x)+4x,则

+4

＝.                       

于是≤＝≤0.

从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x₁) ≤g(x₂)，

即　f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，故对任意x₁,x₂∈(0,+) ，.