Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA₂=2;点D在棱BB₁上，BD＝BB₁；B₁E⊥A₁D，垂足为E，求：

（Ⅰ）异面直线A₁D与B₁C₁的距离；

（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B₁C₁⊥B₁D，又因为∠ABC＝90°，因此B₁C₁⊥A₁B₁，从而B₁C₁⊥平面A₁B₁D，得B₁C₁⊥B₁E。又B₁E⊥A₁D，

故B₁E是异面直线B₁C₁与A₁D的公垂线

由知

在Rt△A₁B₁D中，A₂D＝

又因

故B₁E=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁C₁⊥平面A₁B₁D，又BC∥B₁C₁，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为

V＝V_C-ABDE＝

其中S为四边形ABDE的面积。如图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。

图1

在Rt△B₁ED中，ED=

又因S_△B1ED=

故EF=

因△A₁AE的边A₁A上的高故

S_△A1AE＝

又因为S_△A1BD＝从而

S＝S_△A1AE-S_△A1AE-S_△A1B1D＝2-

所以

解法二：（Ⅱ）如图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则

图2

A(0,1,0),A₁(0,1,2),B(0,0,0).

B₁(0,0,2),C₁(,0,2),D(0,0, )

因此

设E（，y₀，z₀），则，

因此

又由题设B₁E⊥A₁D，故B₁E是异面直线B₁C₁与A₁D的公垂线。

下面求点E的坐标。

因B₁E⊥A₁D，即

又

联立（1）、（2）,解得,,即，。

所以.

（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.

下面求四边形ABDE的面积。

因为S_ABCD＝S_ABE+ S_ADE，

而S_ABE＝

S_BDE＝

故S_ABCD＝

所以