Question

（2013•唐山二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的点，AB₁∥平面BC₁Q．
（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为

2

4

，求二面角Q-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接B₁C交BC₁于点P，连接PQ．利用线面平行的性质定理及直线AB₁∥平面BC₁Q，可得AB₁∥PQ．再利用线线平行的性质定理及P为B₁C的中点即可得到Q为AC的中点．
（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB₁=b，利用斜线的方向向量与法向量的夹角及两个平面的法向量的夹角即可得出．

解答：解：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点P，连接PQ．
因为直线AB₁∥平面BC₁Q，AB₁?平面AB₁C，平面BC₁Q∩平面AB₁C=PQ，
所以AB₁∥PQ．
因为P为B₁C的中点，且AB₁∥PQ，
所以，Q为AC的中点．
（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB₁=b，则平面BC₁C的法向量

m

=(1，0，0)．
B（0，0，0），C₁（0，a，b），Q(

3

4

a，

1

4

a，0)，
∴

BC1

=(0，a，b)，

QC1

=(-

3

4

a，

3

4

a，b)．
∵QC₁与平面BC₁C所成角的正弦值为

2

4

，
∴

2

4

=|cos＜

QC1

，

m

＞|=

| QC1 • m |

| QC1 | | m |

=

3 4 a

3 16 a2+ 9 16 a2+b2

，化为3a²=4b²，取b=

3

2

a．
设平面C₁BQ的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • BC1 =0 n • QC1 =0

，即

ay+bz=0 - 3 4 ax+ 3a 4 y+bz=0

，及b=

3

2

a．
令x=1，解得y=-

3

，z=2，∴

n

=(1，-

3

，2)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

8

=

2

4

．
故二面角Q-BC₁-C的余弦值为

2

4

．

点评：本题综合考查了线面平行的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值及线面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．