Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1,n=1,2,3, …,

(1)当a₁=2时，求a₂,a₃,a₄，并由此猜想a_n的一个通项公式；

(2)当a₁≥3时，证明对所有的n≥1,有

①a_n≥n+2;

②

Answer 1

证明：(1)由a₁=2,得a₂=a₁²-a₁+1=3,

由a₂=3,得a₃=a₂²-2a₂+1=4,

由a₃=4,得a₄=a₃²-3a₃+1=5.

由此猜想a_n的一个通项公式a_n=n+1(n≥1).

(2)①用数学归纳法证明：

（Ⅰ）当n=1时，a₁≥3=1+2,不等式成立.

(Ⅱ)假设n=k时，不等式成立，即a_k≥k+2,那么

a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,

也就是说,当n=k+1时，a_k+1≥(k+1)+2,

根据（Ⅰ）和（Ⅱ），知对于所有n≥1,有a_n≥a+2.

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①，对k≥2,有

a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1

≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1.

……

∴a_k≥2^k-1a₁+2^k-2+…+2+1

=2^k-1(a₁+1)-1.

于是,k≥2,

?.