Question

15．已知圆O：x²+y²=4与直线y=x交于点A，B，直线y=$\sqrt{3}$x+m（m＞0）与圆O相切于点P，则△PAB的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$+2
• D． $\sqrt{3}+$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由点到直线的距离求得m的值，将直线代入圆的方程，求得切点P，利用点到直线的距离公式求得P到直线y=x的距离d，则△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d．

解答 解：由直线y=x过圆心O，则丨AB丨=4，由y=$\sqrt{3}$x+m与圆相切，则$\frac{丨m丨}{2}$=2，
则m=±4，由m＞0，则m=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，则P（-$\sqrt{3}$，1），
则点P到直线y=x的距离d=$\frac{丨-\sqrt{3}-1丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查圆的性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于基础题．