Question

4．已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为$-\frac{1}{4}$．
（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为$（1，\frac{1}{2}）$，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB．

Answer 1

分析 （1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可；
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁），联立直线和椭圆的方程，求得${x}^{2}=\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离，得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的最大值，代入可求出对应的k值．

解答 （1）证明：设点M的坐标为（x，y），则
${k}_{EP}•{k}_{FP}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$，
化简得P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$（x≠±2），
∴点P的轨迹在一个椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$上；
（2）解：设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁），
联立y=kx与$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得${x}^{2}=\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，
AB=2OA=2$\sqrt{（1+{k}^{2}）{{x}_{1}}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，
∵M（1，$\frac{1}{2}$）到直线AB的距离d=$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴${S}_{△MAB}=\frac{1}{2}$AB•d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$×$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=m，
得4（1-m²）k²-4k+1-m²=0，
则4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0．
即（1-m²）²≤1，
又由m≥0，可得0≤m≤$\sqrt{2}$，
即三角形MAB的最大值为$\sqrt{2}$，代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0，得k=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，考查数学转化思想方法，训练了函数最值的求法，是中档题．