Question

如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、VC的中点．

(1)求证：平面EFG∥平面VCD；

(2)若二面角V－BC－A、V－DC－A依次为45°、30°，VA＝1，求直线VB与平面EFG所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵E、F、G分别为VA、VB、BC的中点， 　　∴EF∥AB，FG∥VC， 　　又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD， 　　又∵EF?平面VCD，FG?平面VCD， 　　∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD， 　　又EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面VCD． 　　(2)∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD． 　　则∠VDA为二面角V－DC－A的平面角， 　　∴∠VDA＝30°．同理∠VBA＝45°． 　　作AH⊥VD，垂足为H，由上可知CD⊥平面VAD，则AH⊥平面VCD． 　　∵AB∥平面VCD，∴AH即为B到平面VCD的距离． 　　由(1)知，平面EFG∥平面VCD，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角，记这个角为． 　　∵AH＝VAsin60°＝VA，VB＝VA，∴sin＝＝