Question

如图．已知：在四面体ABCD中，AC：BC，AD＝BD．求证：AB⊥DC．

Answer 1

答案：略
解析：

思维分析1：欲证AB⊥DC．由直线与平面垂直的性质知，需证AB垂直于DC的某个平面．因此，需找两条相交直线，它们都垂直于AB，且与DC共面．因AB是△CAB和△DAB的公共边，问题转化为在AB上是否存在一点M，使AB⊥MC，且AB⊥MD，但这由已知条件CA＝CB和DA＝DB可知．证法1：设M是AS的中点，连结MC和MD． 思维分析2：如图，AB在平面ABD内，CD与这个平面相交．要证AB⊥CD，若CD是平面ABD的斜线，则问题转化为证CD在平面ABD内的射影DH(平面ABD)垂直于AB．因DA＝DB，只需证 ．由DA＝DB知，只需证AH＝BH，可由CA＝CB得出．若CD⊥平面ABD，则易得CD⊥AB．证法2：(1)当CD不垂直于平面DAB时，过C作CH⊥平面DAB，垂足为H，连AH、BH、DH． (2)当CD⊥平面DAB时，CD⊥平面．于是，由(1)、(2)可知，CD⊥AB．这两种证法都需添置适当的辅助线，而这些辅助线都是在控索“结论”成立的条件下发现的．因此，分析法是立体几何中添置辅助线的一种重要方法．