Question

已知f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1．

(1)试求常数a、b、c的值；

(2)试判断x＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)法一：(x)＝3ax2＋2bx＋c． 　　∵x＝±1是函数f(x)的极值点， 　　∴x＝±1是方程(x)＝0的根，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根． 　　由根与系数的关系，得 　　 　　又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1　　③ 　　由①②③，解得a＝，b＝0，c＝－． 　　法二：由(－1)＝(1)＝0得3a＋2b＋c＝0　　① 　　3a－2b＋c＝0　　② 　　又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1　　③ 　　解①②③得a＝，b＝0，c＝． 　　(2)∵f(x)＝， 　　∴(x)＝(x－1)(x＋1)． 　　当x＜－1或x＞1时，(x)＞0，当－1＜x＜1时，(x)＜0． 　　∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数． 　　∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 　　当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1． 　　思路解析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为(x)＝0的根建立起由极值点x＝±1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．