Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，表示出圆的内接矩形长和宽，可得矩形的面积，由3b²≤2ab≤4b²，求得3b≤2a≤4b，平方后，可得a和c的不等式关系，即可求出离心率e的范围．

解答：解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜

π

2

）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，∴3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12a²≥16c²，
∴

5

3

≤

c

a

≤

3

2

即e∈[

5

3

，

3

2

]
故选B．

点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查椭圆的参数方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．