Question

如图，PA=BC=6,AC=8,PC=AB=10,PB=2,F是线段PB上一点,CF=,点E在线段AB上,且EF⊥PB.求证:PB⊥平面CEF.

Answer 1

思路点拨：本题要证明线面垂直关系，可以紧紧围绕着线面垂直的判定定理来考虑，去证明相关的线线垂直.由于已知条件中出现了一些线段的长度,因此可以考虑利用勾股定理的逆定理来判定,从而得证.

证明：∵PA²+AC²=36+64=100=PC²,

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形.

同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形.△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.故PA⊥平面ABC.

又∵S_△PBC=|AC||BC|

=×10×6=30,

而|PB||CF|=×2×=30=S_△PBC,故CF⊥PB.

又已知EF⊥PB，

∴PB⊥平面CEF.

［一通百通］ 有关证明线面垂直的问题,通常可以围绕着线面垂直的判定定理来考虑,从而将问题转化为线线垂直的问题,如果已知条件中出现了有关的线段的长度时,常常要考虑利用勾股定理的逆定理来判定相关的角是直角,从而将问题解决.