Question

x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a＞0，b＞0)对称，则

4

a

+

1

b

的最小值为

10

．

Answer 1

分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，由圆关于直线对称，得到直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得到a+b=1，所求式子利用基本不等式变形即可求出最小值．

解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
得到圆心坐标为（-1，2），半径为2，
∵圆关于直线2ax-by+2=0对称，
∴直线过圆心，即-2a-2b+2=0，
∴a+b=1，
则

4

a

+

1

b

≥2

4 ab

，当且仅当

4

a

=

1

b

，即a=4b时取等号，
此时a+b=4b+b=1，即a=

4

5

，b=

1

5

，
则最小值为2

4 4 25

=10．
故答案为：10

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及基本不等式的运用，根据题意得到直线过圆心是解本题的关键．