Question

已知P为椭圆上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积S=    ．

Answer 1

【答案】分析：由椭圆的标准方程可得：c=4，设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，根据椭圆的定义可得：t₁+t₂=10，再根据余弦定理可得：t₁²+t₂²-t₁t₂=64，再联立两个方程求出t₁t₂=12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．
解答：解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，
∴c=4，
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
所以根据椭圆的定义可得：t₁+t₂=10①，
在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
所以根据余弦定理可得：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos60°=|F₁F₂|²=（2c）²=64，
整理可得：t₁²+t₂²-t₁t₂=64，②
把①两边平方得t₁²+t₂²+2t₁•t₂=100，③
所以③-②得t₁t₂=12，
∴∠F₁PF₂=3．
故答案为：3．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质与椭圆的定义，此题考查解三角形的有关知识点，以及考查学生的基本运算能力与运算技巧，此题属于中档题．