Question

有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13 km,BC=10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图(甲))

(1)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，则点P应位于何处;

(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

分析：先求出①P点到A、B、C三点距离的平方和f(y);②P点到A、B、C三点的最远距离g(y)，然后分别求出f(y)、g(y)的最小值.

解：(1)设P(0,y)，则P到三镇距离的平方和为f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146.

    所以当y=4时，函数f(y)取得最小值.

    所以P点应位于的坐标为(0,4).

(2)P到三镇的最远距离为g(y)=

    由≥|12-y|,得y≥.

    记y^*=，于是

g(y)=如图(乙).

    因为在［y^*,+∞)上是增函数，而|12-y|在(-∞,y^*)上是减函数，所以当y=y^*时，函数g(y)取得最小值.

    所以P点的坐标为(0,).