Question

如下图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．

(I)求证：AB₁⊥平面A₁BD；

(II)求二面角A－A₁D－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(I)取BC中点O，连结AO． 　　∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 　　∴AO⊥平面BCC1B1， 　　连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点， 　　∴B1O⊥BD， 　　∴AB1⊥BD． 　　在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， 　　∴AB1⊥平面A1BD． 　　(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由(I)得AB1⊥平面A1BD， 　　∴∠AFG为二面A－A1B－B的平面角． 　　在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝， 　　又∵AG＝＝， 　　∴sin∠AFG＝， 　　所以二面角A－A1D－B的大小为arcsin． 　　解法二：(I)取BC中点O，连结AO． 　　∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 　　∴AO⊥平面BCC1B1． 　　取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， 　　∴ 　　∵ 　　∴⊥⊥， 　　∴AB1⊥平面A1BD． 　　(II)设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)． 　　 　　∵n⊥⊥， 　　∴∵∴ 　　令z＝1得a＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量． 　　由(I)知AB1⊥A1BD． 　　∴为平面A1BD的法向量． 　　cos＜n1＞＝＝＝－． 　　∴二面角A－A1D－B的大小为arccos．