Question

已知圆x²+y²+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点．

(Ⅰ)求实数m的取值范围；

(Ⅱ)求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)（法一）圆C：，圆心，半径

圆心到直线的距离，得；（4分）

（法二）由，有，得m<8；（或者联立得）（4分）

(Ⅱ)设P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂)，由 ∴

由于以PQ为直径的圆过原点，∴OP⊥OQ， ∴x₁x₂+y₁y₂=0，

而x₁x₂=9－6(y₁+y₂)+4y₁y₂= ，∴   解得m=3．（8分）

故P(1,1), Q(－3,3)，圆的方程为，即．（12分）

（法二）设过PQ的圆的方程为

∴，即

∵圆过原点，∴，又以PQ为直径，则取最小值，此时，故m=3，圆的方程为，即．（12分）