Question

15．设函数f（x）=（$\frac{2}{3}$）^x-（$\frac{3}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$，若f（t）+f（t-4）＜1，则实数t的取值范围是（　　）

• A． t＜2
• B． t＜4
• C． t＞2
• D． t＞4

Answer 1

分析 根据解析式得出f（x）+f（-x）=1，函数f（x）=（$\frac{2}{3}$）^x-（$\frac{3}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$，在R单调递减，转化为不等式f（t-4）＜f（-t），利用单调性求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=（$\frac{2}{3}$）^x-（$\frac{3}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$，
∴f（-x）=（$\frac{3}{2}$）^x$-（\frac{2}{3}）^{x}$$+\frac{1}{2}$，
∴f（x）+f（-x）=1，
∵f（t）+f（t-4）＜1，
∴f（t）+f（t-4）＜f（t）+f（-t），
f（t-4）＜f（-t），
∵函数f（x）=（$\frac{2}{3}$）^x-（$\frac{3}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$，在R单调递减
∴t-4＞-t，
t＞2，
故选：C．

点评 本题考察了函数的性质，不等式的求解，分析关系式得出需要的条件是解题的关键，注意观察分析．