Question

如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．

(1)若＝，求证：无论点P在DD₁上如何移动，总有BP⊥MN；

(2)棱DD₁上是否存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？证明你的结论．

Answer 1

(1)如图所示，连结B₁M、B₁N、AC、BD，则BD⊥AC.

∵＝，∴MN∥AC.

∴BD⊥MN.

∵DD₁⊥平面ABCD，MN⊂面ABCD，∴DD₁⊥MN.

∴MN⊥平面BDD₁.

∵无论P在DD₁上如何移动，总有BP⊂平面BDD₁，故总有MN⊥BP.

(2)存在点P，且P为DD₁的中点，使得平面APC₁⊥平面ACC₁.

∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，

∴BD⊥平面ACC₁.

取BD₁的中点E，连结PE，

则PE∥BD.∴PE⊥面ACC₁.

又∵PE⊂面APC₁，

∴面APC₁⊥面ACC₁.