Question

如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．

(1)若＝，求证：无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；

(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．

Answer 1

　(1)如图所示，连结B1M、B1N、AC、BD，则BD⊥AC.

∵＝，∴MN∥AC.

∴BD⊥MN.

∵DD1⊥平面ABCD，MN⊂面ABCD，∴DD1⊥MN.

∴MN⊥平面BDD1.

∵无论P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，故总有MN⊥BP.

(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1.

∵BD⊥AC，BD⊥CC1，

∴BD⊥平面ACC1.

取BD1的中点E，连结PE，

则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1.

又∵PE⊂面APC1，

∴面APC1⊥面ACC1.