Question

某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y．
（1）设∠PBO=α，把y表示成α的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

Answer 1

【答案】分析：（1）解实际应用题的关键是读懂题意，根据所给的条件知在三角形中表示出点到三个村庄的距离，表示出函数y的关系式．
（2）由题意知本题是一个求函数最小值的问题，这种类型的函数唯一的处理方式是通过导数来解题，对函数式求导，令导函数等于零，验证导函数等于零的左右两边导数的符合，得到最小值．
解答：解：（1）∵在Rt△AOB中，AB=6，
∴OB=OA=．
∴由题意知．
∴点P到A、B、C的距离之和为
．
∴所求函数关系式为．

（2）由（1）得，
令y′=0即，
又，从而
当时，y′＜0；当时，y′＞0．
∴当时，取得最小值，
此时（km），即点P在OA上距O点km处．
即变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小．
点评：本题是一个三角函数同函数结合的问题，解题过程中用到三角函数和函数的思想，是一个中档题目，高考时出上此题，不易得分，解题的关键是运算，要过运算这一关．