Question

设函数f(x)=x³-6x²+2，x∈R

(1)求f(x)的极值；

(2)当x∈[-a，a]时，求f(x)的最大值；

(3)设g(x)=|f(x)-k|，x∈(0，6)，用φ(k)表示g(x)的最大值，求φ(k)的解析式和φ(k)的最小值及相应的k的值.

Answer 1

解：(1)f(x)=x³-6x²+2,(x)=3x²-12x=3x(x-4) 令(x)=0得x₁=0,x₂=4.

列表如下

x	(-∞,0)	0	(0,4)	4	(4,+∞)
(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值2	↘	极小值-30	↗

从而当x=0时，f(x)取得极大值2;

当x=4时,f(x)取得极小值-30

(2)根据（1）可知f(0)=2是极大值，在(4,+∞)内函数f(x)单调递增，并且可验证f(6)=2,由条件知a＞0因此在[-a,a]上，当0＜a≤6时，f(x)的最大值与极大值f(0)=2相同

当a＞6时，f(x)的最大值是f(a)=a³-6a²+2.

即f(x)_max=  

(3)f(x)-k=x³-6x²+2-k,

∴=3x(x-4).

令=0得x₁=0  x₂=4.

又由于f(0)-k=f(6)-k=2-k,f(4)-k=-30-k,所以当x∈[0,6]时，g(x)=|f(x)-k|的最大值φ(k)=max{|2-k|,

|30+k|}.

当k变化时|2-k|和|30+k|的图像如图a所示

                          图a

从而φ(k)的图像如图b

                       图b

因此φ(k)=

并且当k=-14时，φ(x)取得最小值16.