Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，．现沿对角线BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值为．

(Ⅰ)求证：平面ABD⊥平面CBD；

(Ⅱ)若M是AB的中点，求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：菱形ABCD中，tan∠DAC＝，AD＝10， 　　∴OA＝8，OD＝6　　1分 　　翻折后变成三棱椎A－BCD，在△ACD中， 　　，　　3分 　　在△AOC中，，　　4分 　　∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD＝O， 　　∴AO⊥平面BCD， 　　又AO平面ABD， 　　∴平面ABD⊥平面CBD．　　6分 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A(0，0，8)，B(0，－6，0)，C(8，0，0)，D(0，6，0)，M(0，－3，4)，　　7分 　　，，　　8分 　　设平面MCD的一个法向量为，则由 　　，得，　　10分 　　令y＝4，有，　　11分 　　设AC与平面MCD所成角为θ， 　　，　　13分 　　∴AC与平面MCD所成角的余弦值为，　　14分