Question

已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0．

求证：cos(α－β)＝－．

Answer 1

答案：
解析：

证明∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，∴sinα＋sinβ＝－sinγ．① 　　又∵cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴cosα＋cosβ＝－cosγ．② 　　②2＋①2得：(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝cos2γ＋sin2γ＝1． 　　∴cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝1， 　　∴2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝－1， 　　∴cos(α－β)＝－． 　　分析：已知条件是关于α、β、γ的正弦和余弦之间的关系．而结论中只有α、β，因此证题的突破口是如何消去sinγ、cosγ．

提示：

要善于观察、比较条件与结论的关系．利用sin2γ＋cos2γ＝1成功消去了条件中的sinγ、cosγ，再反用两角差的余弦公式即可．