Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求数列数列{a_n}的通项公式a_n，
（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，求证．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n=na_n-2n（n-1）结合通项和前n项和的关系，转化为a_n+1-a_n=4（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（II）利用裂项求和法求出=，又易知T_n单调递增，
则，从而证得结论．
解答：解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
即a_n+1-a_n=4…（4分）∴数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列∴a_n=4n-3．…（6分）
（II）===…（10分）
又易知T_n单调递增，
故，
得．…（12分）
点评：本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法，这里涉及了通项与前n项和之间的关系及裂项求和法，这是数列考查中常考常新的问题，要熟练掌握．