Question

求证是无理数．

Answer 1

答案：
解析：

分析：此题可以看作是证明不是有理数，这种以否定形式出现的命题常用反证法来证明．即从假设是有理数入手，通过推理论证，推出与假设矛盾的结论，从而说明假设不成立，即原命题的否定不成立，则原命题成立． 要证此题还需明确有理数和无理数的区别，从定义上看无理数是无限不循环小数，有理数可视为以R为全集无理数集的补集，这在此题的证明中难作依据，而无理数和有理数的区别在于能否表示为(m、n为互质的正整数)这一特征却便于证明此题． 证明 假设是有理数，则=(m、n为互质的正整数)． 从而可得 m=n． 两边平方得2m·m=n·n． ∴ 2必为n的因数． 令n=2k(k∈N*)，代入(1)中，得2m·m=4k·k． ∴ 从而知2必为m的因数． 因而可得结论“2是m、n的公因数”，这与m、n为互质正整数的假设矛盾． ∴ 假设是有理数不成立． 故是无理数． 说明：一般常用反证法证明的题型有：(1)命题的结论以否定形式出现时；(2)命题结论以“至多”、“至少”的形式出现时；(3)命题的结论以“无限”的形式出现时；(4)命题的结论以“唯一”、“共点”、“共线”、“共面”的形式出现时；(5)命题不易直接证明时．