Question

已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.

(1)证明面PAD⊥面PCD;

(2)求AC与PB所成的角;

(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

Answer 1

方法一：(1)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,

    由三垂线定理,得CD⊥PD.

    因而CD与面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直.∴CD⊥平面PAD.

    又CD面PCD,

∴面PAD⊥面PCD.

(2)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA,

    则∠PBE是AC与PB所成的角.

    连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2.

    又AB=2,∴四边形ACBE是正方形.

    由PA⊥面ABCD,得∠PEB=90°.

    在Rt△PEB中,BE=,PB=,

∴cos∠PBE=.

∴AC与PB所成的角为arccos.

(3)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.

    在Rt△PAB中,AM=MB.

    又AC=CB,∴△AMC≌△BMC.

∴BN⊥CM.故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC.

    在Rt△PCB中,CM=MB,

∴CM=AM.

    在等腰△AMC中,

AN·MC=·AC,

∴AN==.

∴cos∠ANB==-.

    故所求的二面角为arccos(-).

方法二：∵PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为长度单位,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M(0,1,).

(1)证明:∵=(0,0,1),=(0,1,0),∴·=0.

∴AP⊥DC.

    由题设知AD⊥DC,

∴DC⊥面PAD.

    又∵DC平面PCD,故面PAD⊥面PCD.

(2)解:∵=(1,1,0),=(0,2,-1),

∴cos〈,〉==.

    故AC与PB所成的角为arccos.

(3)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,使=λ,

=(1-x,1-y,-z),=(1,0,-),∴x=1-λ,y=1,z=λ.

    要使AN⊥MC,只需·=0,

    即x-z=0,∴λ=.

    当λ=时,N(,1,)能使·=0.

    此时,=(,-1,),·=0.

∴AN⊥MC,BN⊥MC.

∠ANB为所求二面角的平面角.

∴cos〈, 〉= =-.

    故所求的二面角为arccos(-).