Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上任意两点，且，已知M的横坐标为．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，T_n＜λ（S_n+1+1），对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（2）=，即
以上两式相加后两边再同时除以2就得到S_n．
（3）当n≥2时，根据题设条件，由T_n＜λ（S_n+1+1）得，
∴，再由均值不等式求出λ的取值范围．
解答：解：（1）∵
∴M是AB的中点，设M点的坐标为M（x，y），
由，得x₁+x₂=1，则x₂=1-x₁
而
=
∴M点的纵坐标为定值
（2）由（1）知若x₁+x₂=1则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，=
即
以上两式相加得：═
∴
（3）当n≥2时，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n==
由T_n＜λ（S_n+1+1）得
∴
∵，当且仅当n=2时“=”成立
∴．
因此，即λ的取值范围为
点评：本题考查了中点坐标公式、数列求和、均值不等式、对数性质等知识点，难说度较大，解题时要认真审题，仔细作答．