Question

求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．

求证：l⊥γ．

Answer 1

答案：
解析：

分析1：根据直线和平面垂直的判定定理可在γ内构造两相交直线分别与两平面α、β垂直． 　　证法1：如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过点P在γ内作直线m⊥a，n⊥b． 　　∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β． 　　又α∩β＝l，∴l⊥m，l⊥n，∴l⊥γ． 　　分析2：由面面垂直的性质，易在α、β内作出γ的垂线，再证与l平行．

提示：

充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法1充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法2涉及垂直关系与平行关系的转化；证法3实质是同一法．